向量运算是线性代数中的重要组成部分，它在物理、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。向量运算主要包括加法、减法、标量乘法、点积（内积）和叉积（外积）。以下是这些运算的基本公式：

1. 向量加法

向量加法遵循平行四边形法则或三角形法则。两个向量$\vec{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)$ 的和定义为：

$$\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, ..., a_n + b_n)$$

2. 向量减法

向量减法可以看作是加上一个相反的向量。$\vec{a}$ 减去 $\vec{b}$ 可以表示为：

$$\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, ..., a_n - b_n)$$

3. 标量乘法

标量乘法是指将一个向量与一个标量（实数）相乘。若$c$是一个标量，那么$c\vec{a}$定义为：

$$c\vec{a} = (ca_1, ca_2, ..., ca_n)$$

4. 点积（内积）

点积是两个向量的长度与其夹角余弦的乘积。对于二维或三维空间中的向量$\vec{a} = (a_1, a_2)$ 或 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2)$ 或 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，其点积定义为：

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$$

点积的结果是一个标量。

5. 叉积（外积）

叉积仅适用于三维空间中的向量。给定两个向量$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，它们的叉积$\vec{a} \times \vec{b}$是一个新的向量，其分量由以下行列式给出：

$$\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)

$$

叉积的结果是一个垂直于原两向量所在平面的新向量，其方向遵循右手定则。

以上就是向量运算中最基本的几个公式，掌握这些公式有助于解决涉及向量的各种问题。