如何求解伴随矩阵：一个简单易懂的例子

伴随矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在求解逆矩阵、计算行列式以及解决线性方程组时都扮演着关键角色。本文将通过一个具体的例子，详细讲解伴随矩阵的求解步骤。

假设我们有一个2×2矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \)。为了求出它的伴随矩阵 \( \text{adj}(A) \)，我们需要按照以下步骤操作：

第一步：计算矩阵的代数余子式

代数余子式是指从原矩阵中去掉某一行和某一列后剩余元素组成的子矩阵的行列式，并乘以适当的符号因子。对于2×2矩阵，其代数余子式非常简单：

- 对于第一行第一列的元素（即3），对应的代数余子式为去掉第1行第1列后的子矩阵的行列式，符号因子为正（+）。

- 对于第一行第二列的元素（即4），对应的代数余子式为去掉第1行第2列后的子矩阵的行列式，符号因子为负（-）。

- 类似地，对于第二行第一列和第二行第二列的元素，分别计算对应的代数余子式并加上相应的符号因子。

具体计算如下：

- \( C_{11} = (+) \cdot \det\left(\begin{bmatrix} 5 \end{bmatrix}\right) = 5 \)

- \( C_{12} = (-) \cdot \det\left(\begin{bmatrix} 2 \end{bmatrix}\right) = -2 \)

- \( C_{21} = (-) \cdot \det\left(\begin{bmatrix} 4 \end{bmatrix}\right) = -4 \)

- \( C_{22} = (+) \cdot \det\left(\begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix}\right) = 3 \)

因此，代数余子式矩阵为：

\[ C = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -4 & 3 \end{bmatrix} \]

第二步：转置代数余子式矩阵

伴随矩阵的定义要求我们将代数余子式矩阵转置。转置操作即将矩阵的行变为列，列变为行。因此，转置后的矩阵为：

\[ \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 5 & -4 \\ -2 & 3 \end{bmatrix} \]

总结

通过上述步骤，我们得到了矩阵 \( A \) 的伴随矩阵 \( \text{adj}(A) \)。对于更大的矩阵（如3×3或更高阶），虽然计算过程更加复杂，但原理相同——只需逐个计算代数余子式并进行转置即可。

伴随矩阵的应用十分广泛，尤其是在求解矩阵的逆矩阵时，公式 \( A^{-1} = \frac{\text{adj}(A)}{\det(A)} \) 直接依赖于伴随矩阵的存在。掌握伴随矩阵的求解方法，不仅能够帮助我们更好地理解线性代数的核心内容，还能为更复杂的数学问题提供有力工具。