在数学与物理学中，向量的点乘（又称内积）和叉乘（又称外积或向量积）是两种非常重要的运算。它们分别描述了两个向量之间的不同关系，并在工程学、计算机图形学以及力学等领域有着广泛的应用。

点乘，也叫内积，其结果是一个标量值。对于二维或三维空间中的两个向量A = (a₁, a₂, a₃) 和 B = (b₁, b₂, b₃)，它们的点乘公式为：A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。点乘的结果可以用来判断两个向量的方向关系。当点乘值大于零时，表示两向量夹角小于90°；等于零则意味着两向量垂直；而小于零则表明夹角大于90°。此外，点乘还具有几何意义，即A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别是向量A和B的模长，θ是两向量之间的夹角。这一定理不仅有助于理解向量间的投影关系，还在解决实际问题如力做功时发挥重要作用。

另一方面，叉乘的结果是一个新的向量，且该向量同时垂直于原始的两个向量。设A × B = C，则C的方向遵循右手定则，大小由公式|C| = |A||B|sinθ决定，其中θ同样是两向量之间的夹角。叉乘的应用范围十分广泛，例如用于计算平行四边形面积（面积等于两邻边向量的叉乘绝对值）、确定物体旋转轴方向等。值得注意的是，只有三维空间中的向量才能进行有效的叉乘操作，而在二维平面中，叉乘的结果通常简化为一个数值，代表旋转方向。

总之，点乘和叉乘作为向量运算的核心工具，不仅揭示了向量间的基本性质，也为解决复杂的空间几何问题提供了强有力的手段。无论是理论研究还是实践应用，这两类运算都不可或缺。